El Teorema Fundamental del Cálculo

En esta sesión vamos a estudiar una de las ideas más profundas y poderosas de todo el cálculo: el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC). Este teorema establece un vínculo directo entre las dos operaciones principales del análisis: derivar e integrar.

De hecho, el TFC tiene dos partes que pueden parecer independientes, pero que están profundamente conectadas:

\textbf{Parte 1:} \quad F(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad \Rightarrow \quad F'(x) = f(x)

\textbf{Parte 2:} \quad \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \quad \text{si } F'(x) = f(x)

En este laboratorio nos vamos a concentrar en la primera parte. Vamos a explorar visualmente qué significa que derivar una función acumulada (es decir, una función que suma área bajo una curva) nos devuelve la función original.

¿Qué haremos?

Durante esta sesión:

Verán distintas visualizaciones que muestran cómo la función acumulada $F(x)$ cambia conforme acumulamos área bajo la curva de una función $f(t)$ .
En cada punto veremos también la recta tangente a $F(x)$ , y cómo su pendiente coincide exactamente con el valor de $f(x)$ .
Al final, ustedes construirán su propia visualización para una función un poco más interesante.

Todo esto les ayudará a entender visualmente por qué $\frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t)\,dt \right) = f(x)$ no es solo una fórmula, sino una idea geométrica muy poderosa.