6. Ejercicios finales: visualizando la derivada

Para cerrar este primer laboratorio, vamos a realizar dos ejercicios en los que conectaremos lo aprendido hoy con un concepto fundamental del cálculo diferencial: la derivada.

La derivada de una función en un punto puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
Vamos a visualizar esa pendiente mediante una aproximación numérica utilizando Python.

6.1 Ejercicio 1 (en conjunto): la pendiente de $f(x) = x^2$ en $x = 1$

Consideremos la función cuadrática $f(x) = x^2$ . Queremos:

Graficar la función en un intervalo.
Aproximar la pendiente de la recta tangente en un punto $x_0 = 1$ .
Graficar dicha recta tangente junto a la función.

Aproximación de la derivada

Usamos la definición de derivada como razón de cambio promedio en un intervalo pequeño:

f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

donde $h$ es un número pequeño, por ejemplo $0.01$ .

Fórmula de la recta tangente

Conocida la pendiente $m \approx f'(x_0)$ , la ecuación de la recta tangente en $x_0$ es:

T(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

Esta fórmula es la que programaremos y graficaremos junto con la función.

Desarrollo paso a paso


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# Definimos la función
def f(x):
    return x ** 2
 
# Punto donde evaluamos la pendiente
x0 = 1
h = 0.01
 
# Aproximamos la derivada en x0
slope = (f(x0 + h) - f(x0)) / h
 
# Recta tangente: T(x) = f(x0) + slope * (x - x0)
x = np.linspace(0, 2, 100)
y = f(x)
tangent = f(x0) + slope * (x - x0)
 
# Visualización
plt.plot(x, y, label='$f(x) = x^2$')
plt.plot(x, tangent, '--', label='Recta tangente en $x=1$')
plt.scatter([x0], [f(x0)], color='red')  # punto de tangencia
plt.title("Visualización de la derivada como pendiente")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

6.2 Ejercicio 2 (en grupos): la pendiente de $f(x) = \sin(x)$ en $x = \pi/4$

Ahora les propongo que repitan el mismo procedimiento, pero esta vez con la función:

f(x) = \sin(x)

y evaluando la pendiente en el punto:

x_0 = \frac{\pi}{4}

Instrucciones:

Utilicen np.sin para definir la función.
Usen np.pi para representar $\pi$ .
Aproximen la pendiente con la fórmula de la derivada:

f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Programen la recta tangente con la ecuación

T(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

Grafiquen la función y la tangente, igual que en el ejemplo anterior.
Agreguen etiquetas y título al gráfico.
Al finalizar, suban su código a Classroom