¿Qué son los métodos numéricos?

Los métodos numéricos son técnicas que nos permiten aproximar soluciones a problemas matemáticos cuando no podemos (o no queremos) resolverlos de forma exacta.

En lugar de encontrar una solución analítica —como una primitiva escrita con funciones conocidas—, los métodos numéricos nos dan números que se acercan mucho al valor real.

Un ejemplo clásico es el de las integrales definidas. Si bien a veces podemos resolverlas con una fórmula cerrada, hay muchas funciones para las que eso no es posible. Por ejemplo:

• $\int_0^1 e^{-x^2} \, dx$ no tiene una primitiva elemental.
• $\int_0^1 \sqrt{1 + x^4} \, dx$ sí tiene primitiva, pero es difícil de encontrar y poco útil para evaluarla manualmente.
• A veces ni siquiera tenemos una fórmula: solo tenemos los valores de la función en algunos puntos.

En todos estos casos, usar un método numérico no es solo útil: es necesario.

Más allá de la integración, los métodos numéricos se usan en:

• Ecuaciones diferenciales (como las que aparecen en física, química o biología).
• Cálculo de raíces.
• Solución de sistemas de ecuaciones.
• Optimización de funciones, entre muchos otros casos.

¿Método analítico o método numérico?

A lo largo de su formación, van a escuchar con frecuencia estas dos expresiones:

• Método analítico: busca una solución exacta, escrita con símbolos o fórmulas. Por ejemplo, resolver una integral como:

  $$\int_0^1 x^2 \, dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^1 = \frac{1}{3}$$

  Aquí encontramos la primitiva de la función, la evaluamos en los extremos y obtenemos una expresión exacta.

• Método numérico: busca una aproximación, usando cálculos con números. Por ejemplo, dividir el intervalo $[0, 1]$ en muchos subintervalos y sumar áreas de trapecios para estimar la misma integral.

Ambos enfoques son válidos y útiles, pero tienen propósitos distintos:

• Lo analítico nos da información estructural, exacta, y a veces elegante.
• Lo numérico nos permite resolver problemas que no tienen solución exacta conocida, o que serían muy difíciles de manejar con lápiz y papel.

En este laboratorio vamos a implementar uno de los métodos numéricos más simples y útiles: el método del trapecio.