🧭 ¿Y si en vez de puntos tuviéramos una lámina continua?

Hasta ahora trabajamos con un conjunto de puntos. Cada uno tenía una masa igual, y el centroide nos decía dónde debíamos apoyar el sistema para que quedara equilibrado.

Pero ahora pensemos en algo más real:

Una bandeja delgada con forma curva, como una media luna o una lámina metálica flexible recortada con una figura suave. ¿Dónde deberíamos colocar un solo soporte para que no se incline?

Aquí ya no tenemos puntos separados, sino una masa repartida de manera continua sobre toda la región. Es como tener infinitos puntos de masa, todos infinitamente pequeños, cubriendo una figura plana.

📌 Por ejemplo: imaginen recortar con tijeras una pieza delgada de cartón con forma de parábola, o una tapa de horno con forma semicircular.
Esa pieza tiene masa distribuida en toda su superficie, y si la colocamos sobre una punta o un eje, hay un punto específico que la equilibrará: su centroide.

¿Cómo calculamos ese punto si no hay puntos individuales que sumar?
La respuesta está en lo que venimos estudiando en este curso: ¡en las integrales!

📐 Centroide de una región plana definida por una curva

Supongamos que una región está delimitada entre $y = 0$ y una curva $y = f(x)$, desde $x = a$ hasta $x = b$.
Si la densidad es constante (por ejemplo, una lámina homogénea), las coordenadas del centroide $(\bar{x}, \bar{y})$ se calculan con las siguientes fórmulas:

• Área total:

• Coordenadas del centroide:

🤔 ¿Por qué la fórmula de $\bar{y}$ es diferente?

Para entenderlo, recordemos qué es un centroide:

Es el promedio de las posiciones, ponderado por la masa de cada porción.

En $\bar{x}$, imaginamos la región como formada por barras verticales:
Cada barra tiene base $dx$, altura $f(x)$ y masa proporcional a su área $f(x)\,dx$.
El centro de masa de esa barra está en $x$, así que:

Pero para $\bar{y}$, queremos encontrar el centro vertical de la región.
Aunque seguimos integrando respecto a $x$, la altura de cada barra es $f(x)$, y su centro vertical está a la mitad: en $f(x)/2$.

Entonces el momento vertical se calcula como:

• El primer $f(x)/2$ representa la altura promedio de cada barra.
• El segundo $f(x)$ representa su área (o masa).

Y eso nos lleva a:

🧪 Ejemplo: Centroide de una semicircunferencia

Vamos a aplicar estas fórmulas a una región muy conocida:
la semicircunferencia superior de radio 1, dada por:

Visualmente, es la mitad superior de un círculo unitario.

Como es simétrica respecto al eje $y$, esperamos que $\bar{x} = 0$.
Veamos qué ocurre con $\bar{y}$.

from sympy import symbols, sqrt, integrate
 
x = symbols('x')
f = sqrt(1 - x**2)
 
# Área bajo la semicircunferencia
A = integrate(f, (x, -1, 1))
 
# Coordenada x del centroide
x_bar = (1 / A) * integrate(x * f, (x, -1, 1))
 
# Coordenada y del centroide
y_bar = (1 / (2 * A)) * integrate(f**2, (x, -1, 1))
 
print("Área:", A.evalf())
print("Centroide x̄:", x_bar.evalf())  # debería dar 0
print("Centroide ȳ:", y_bar.evalf())

📊 Visualización

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# Definir la curva
x_vals = np.linspace(-1, 1, 300)
y_vals = np.sqrt(1 - x_vals**2)
 
# Coordenadas del centroide
x_bar = 0
y_bar = 4 / (3 * np.pi)
 
# Gráfico
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(x_vals, y_vals, label=r'$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$')
plt.fill_between(x_vals, 0, y_vals, alpha=0.3)
plt.scatter(x_bar, y_bar, color='red', label='Centroide', zorder=5)
plt.axhline(y_bar, color='red', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.title("Centroide de una semicircunferencia de radio 1")
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Este resultado confirma nuestra intuición:

• El centroide está en $x = 0$ por simetría.
• En $y \approx 0.4244$, un poco por debajo del centro del círculo, porque la masa está más concentrada cerca de la base.

En el siguiente ejercicio, tú calcularás el centroide de otra región curva.