Ejercicios: propiedades de la integral con funciones polinómicas

Ahora vamos a aplicar las mismas tres propiedades fundamentales de la integral definida, pero usando funciones polinómicas y de raíz cuadrada.

En cada caso deberán:

• Visualizar las áreas correspondientes.
• Verificar las propiedades observando que las áreas coinciden.

Ejercicio 1

Trabajaremos con las funciones:

• $f(x) = \sqrt{x}$
• $g(x) = x$

en el intervalo $[0,4]$.

Instrucciones

1. Partición del intervalo:
   • Verifiquen que
   $$\int_0^4 f(x) \, dx = \int_0^2 f(x) \, dx + \int_2^4 f(x) \, dx$$
2. Suma de funciones:
   • Verifiquen que
   $$\int_0^4 (f(x) + g(x)) \, dx = \int_0^4 f(x) \, dx + \int_0^4 g(x) \, dx$$
3. Multiplicación por una constante:
   • Verifiquen que
   $$\int_0^4 2f(x) \, dx = 2 \int_0^4 f(x) \, dx$$

Ejercicio 2

Trabajaremos ahora con las funciones:

• $f(x) = x^2$
• $g(x) = 2x$

en el intervalo $[0,4]$.

Instrucciones

1. Partición del intervalo:
   • Verifiquen que
   $$\int_0^4 f(x) \, dx = \int_0^2 f(x) \, dx + \int_2^4 f(x) \, dx$$
2. Suma de funciones:
   • Verifiquen que
   $$\int_0^4 (f(x) + g(x)) \, dx = \int_0^4 f(x) \, dx + \int_0^4 g(x) \, dx$$
3. Multiplicación por una constante:
   • Verifiquen que
   $$\int_0^4 3f(x) \, dx = 3 \int_0^4 f(x) \, dx$$

Preguntas de cierre

Respondan brevemente las siguientes preguntas, una o dos oraciones máximo por cada pregunta:

1. Partición del intervalo

   • ¿Qué observan al comparar el área total con la suma de las áreas de los subintervalos?
   • ¿Qué interpretación geométrica pueden dar a esta propiedad?

2. Suma de funciones

   • ¿Cómo se relaciona el área bajo la suma $f(x) + g(x)$ con las áreas bajo $f(x)$ y $g(x)$?
   • ¿Qué significa, en términos de áreas, integrar una suma de funciones?

3. Multiplicación por una constante

   • ¿Qué ocurre con el área bajo la curva al multiplicar la función por una constante?
   • ¿Por qué tiene sentido que la integral también se multiplique por la misma constante?