🌀 Laboratorio: Sucesiones recursivas, pensamiento recursivo y Torres de Hanoi

🧭 Introducción general

En este laboratorio estudiaremos las sucesiones numéricas desde un enfoque analítico y computacional. Nos centraremos en cómo pueden definirse mediante reglas recursivas, cómo modelarlas en código, y cómo estas ideas se conectan con el cálculo integral a través de su relación con series numéricas.

Además, exploraremos un problema clásico que ejemplifica el pensamiento recursivo: las Torres de Hanoi. A través de este ejemplo veremos cómo una simple regla puede generar un crecimiento exponencial, y cómo este tipo de patrones están presentes en muchos fenómenos matemáticos.

📘 Sucesiones: introducción intuitiva

Una sucesión es una función que asigna a cada número natural $n$ un número real $a_n$ . Es común escribirla como una lista ordenada de términos:

a_1, a_2, a_3, \ldots

En este laboratorio, trabajaremos principalmente con sucesiones definidas recursivamente. Es decir, sucesiones en las que cada término depende de uno o más términos anteriores.

A continuación se presentan tres ejemplos.

Ejemplo 1: Sucesión de Fibonacci

1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ \ldots

Esta sucesión comienza con $a_1 = 1$ , $a_2 = 1$ y cada término posterior se obtiene sumando los dos anteriores:

a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad \text{para } n \geq 3

Ejemplo 2: Sucesión cuadrática desplazada

2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ \ldots

Podemos observar que la diferencia entre términos consecutivos crece de manera lineal:

3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \ldots

Eso sugiere una regla recursiva del tipo:

a_1 = 2, \quad a_n = a_{n-1} + 2n - 1

En este caso también puede encontrarse una expresión cerrada:

a_n = n^2 + 1

Ejemplo 3: Sucesión geométrica

1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots

Cada término es el doble del anterior, lo que permite una definición recursiva directa:

a_1 = 1, \quad a_n = 2 \cdot a_{n-1}

Y también una fórmula explícita:

a_n = 2^{n-1}

ℹ️ Comentarios importantes

No todas las sucesiones admiten una fórmula cerrada simple.
Las definiciones recursivas pueden ser más naturales o fáciles de programar.
Algunas sucesiones requieren más de un término inicial (como Fibonacci).
Reconocer el tipo de crecimiento (lineal, cuadrático, exponencial) es clave para modelarlas y graficarlas.

Esta observación analítica será la base para las siguientes secciones, donde programaremos sucesiones, las visualizaremos, y exploraremos su relación con problemas clásicos y series numéricas.