¿Qué representan $r$ y $\theta$?

En el sistema de coordenadas polares, cada punto del plano se describe por una pareja ordenada:

donde:

• $r$ es la distancia desde el origen (el punto $(0, 0)$) hasta el punto.
• $\theta$ es el ángulo entre el eje $x$ positivo y la línea que conecta el origen con el punto, medido en radianes en sentido antihorario.

🧭 ¿Cómo interpretamos $(r, \theta)$?

• Si $r > 0$, nos movemos $r$ unidades desde el origen en la dirección del ángulo $\theta$.
• Si $r = 0$, estamos en el origen sin importar el valor de $\theta$.
• Si $r < 0$, nos movemos $|r|$ unidades en la dirección opuesta a la indicada por $\theta$.

El ángulo $\theta$ puede tomar valores mayores a $2\pi$ o ser negativo, lo que representa múltiples vueltas alrededor del origen.

⚠️ Representaciones múltiples del mismo punto

Una misma posición en el plano puede tener distintas representaciones en coordenadas polares. Por ejemplo:

Ambos representan el mismo punto: una unidad en dirección opuesta.

Esto significa que las coordenadas polares no son únicas. A veces conviene normalizar $\theta$ en el intervalo $[0, 2\pi)$ o limitar $r \geq 0$ según el contexto.

📊 Visualización: ¿Cómo se ve un punto polar?

El siguiente código grafica varios puntos dados en coordenadas polares, para que puedan visualizar cómo se interpretan $r$ y $\theta$ en el plano.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# Lista de puntos en coordenadas polares: (r, θ)
puntos_polares = [
    (1, np.pi/4),
    (2, np.pi),
    (1, 5*np.pi/2),  # equivale a (1, π/2)
    (-1, 0),         # equivale a (1, π)
    (0, 2*np.pi/3)   # origen
]
 
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6,6))
ax.set_aspect('equal')
ax.set_xlim(-2.5, 2.5)
ax.set_ylim(-2.5, 2.5)
ax.set_title("Interpretación geométrica de $(r, \\theta)$")
ax.grid(True)
 
# Dibujar ejes
ax.axhline(0, color='gray', linewidth=1)
ax.axvline(0, color='gray', linewidth=1)
 
# Graficar puntos
for r, theta in puntos_polares:
    x = r * np.cos(theta)
    y = r * np.sin(theta)
    ax.plot(x, y, 'o')
    ax.annotate(f"({r:.1f}, {theta:.2f})", (x, y), textcoords="offset points", xytext=(5,5))
 
plt.show()

🧠 Observaciones importantes

• El punto $(1, \pi)$ está en el eje negativo $x$, igual que $(-1, 0)$.
• El punto $(1, 5\pi/2)$ está en la misma dirección que $(1, \pi/2)$.
• El punto $(0, \theta)$ siempre es el origen, sin importar $\theta$.

🔄 Conversión entre coordenadas cartesianas y polares

En muchos problemas necesitaremos convertir un punto de coordenadas cartesianas $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, \theta)$, y viceversa.

📐 De polares a cartesianas

Dado un punto en coordenadas polares $(r, \theta)$, sus coordenadas cartesianas se obtienen con:

Estas fórmulas se derivan directamente de trigonometría, considerando $r$ como la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

📐 De cartesianas a polares

Dado un punto $(x, y)$, sus coordenadas polares se calculan así:

⚠️ Ojo! Esta fórmula para $\theta$ puede ser ambigua, ya que la tangente no distingue en qué cuadrante está el punto. Por eso en programación se recomienda usar:

• atan2(y, x) en Python (de numpy o math), que devuelve el ángulo correcto considerando el signo de ambos argumentos.

🧮 Ejemplo de conversión

Supongamos que tenemos el punto cartesiano $(x, y) = (-1, \sqrt{3})$.
Entonces:

Por tanto, el punto en coordenadas polares es $(2, 2\pi/3)$.

🧪 Visualización interactiva

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# Lista de puntos cartesianos
puntos_cartesianos = [
    (1, 1),
    (0, -2),
    (-1, np.sqrt(3)),
    (-2, -2)
]
 
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6,6))
ax.set_aspect('equal')
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-3, 3)
ax.set_title("Conversión cartesiano → polar")
ax.grid(True)
 
# Dibujar ejes
ax.axhline(0, color='gray', linewidth=1)
ax.axvline(0, color='gray', linewidth=1)
 
# Dibujar puntos y mostrar conversión
for x, y in puntos_cartesianos:
    r = np.sqrt(x**2 + y**2)
    theta = np.arctan2(y, x)
    x_label = f"x={x}, y={y}"
    rtheta_label = f"r={r:.2f}, θ={theta:.2f} rad"
    ax.plot(x, y, 'o')
    ax.annotate(rtheta_label, (x, y), textcoords="offset points", xytext=(5, 5))
    print(f"{x_label} → {rtheta_label}")
 
plt.show()

💬 Observaciones importantes

• atan2 devuelve $\theta$ en radianes, entre $-\pi$ y $\pi$. Esto se puede ajustar eso al intervalo $[0, 2\pi)$.
• Algunos puntos (como el origen) tienen coordenadas polares mal definidas: $r = 0$, pero $\theta$ puede ser cualquier valor.

❗ ¿Por qué la fórmula de $\theta$ puede fallar?

Cuando convertimos un punto cartesiano $(x, y)$ a coordenadas polares, usamos:

Pero esta fórmula es ambigua, porque la tangente no distingue en qué cuadrante está el punto.
Por ejemplo:

Ambos dan el mismo resultado, pero:

• $(1, 1)$ está en el primer cuadrante
• $(-1, -1)$ está en el tercer cuadrante

Esto se debe a que $\tan^{-1}(y/x)$ sólo mira el cociente, no los signos por separado.

✅ Solución: usar atan2(y, x)

La función atan2(y, x) (disponible en Python, C, Java, etc.) resuelve este problema:

• Usa el signo de $x$ y $y$ para determinar el cuadrante correcto.
• Devuelve el valor de $\theta$ en radianes, en el intervalo $(-\pi, \pi]$.

🔍 Comparación visual

El siguiente código muestra dos puntos que tienen el mismo $\frac{y}{x}$ pero están en cuadrantes distintos.
Se puede ver que $\tan^{-1}(y/x)$ no los diferencia, pero atan2(y, x) sí.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# Dos puntos con mismo y/x pero distinto cuadrante
p1 = (1, 1)     # Cuadrante I
p2 = (-1, -1)   # Cuadrante III
 
# Calcular ángulos
theta1 = np.arctan2(p1[1], p1[0])
theta2 = np.arctan2(p2[1], p2[0])
 
# Mostrar valores
print(f"Punto (1, 1): θ = {theta1:.2f} rad = {np.degrees(theta1):.1f}°")
print(f"Punto (-1, -1): θ = {theta2:.2f} rad = {np.degrees(theta2):.1f}°")
 
# Graficar
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6,6))
ax.set_aspect('equal')
ax.set_xlim(-2, 2)
ax.set_ylim(-2, 2)
ax.grid(True)
ax.axhline(0, color='gray', linewidth=1)
ax.axvline(0, color='gray', linewidth=1)
 
for x, y in [p1, p2]:
    ax.plot(x, y, 'o')
    ax.arrow(0, 0, x, y, head_width=0.1, head_length=0.1, color='orange', length_includes_head=True)
 
ax.annotate("θ = π/4", p1, textcoords="offset points", xytext=(5,5))
ax.annotate("θ = 5π/4", p2, textcoords="offset points", xytext=(5,5))
 
ax.set_title("Mismo y/x → distinta dirección")
plt.show()

Este es un ejemplo clásico de cómo la geometría importa más que la fórmula algebraica.
En resumen:

• Usar atan2(y, x) siempre que quieras obtener $\theta$ correctamente.
• No confíar ciegamente en $\tan^{-1}(y/x)$