Propiedades fundamentales de la integral definida

En este laboratorio vamos a explorar de forma visual algunas de las propiedades más importantes de la integral definida.

La idea es que, a través de ejemplos sencillos pero representativos, podamos construir una mejor intuición de cómo funcionan las integrales como sumas de áreas, y por qué ciertas propiedades que enunciamos en clase son naturales y esperables.

¿Qué haremos hoy?

Trabajaremos principalmente en dos etapas:

Primero, exploraremos las propiedades usando funciones escalonadas (funciones que mantienen su valor constante en intervalos).
Luego, aplicaremos las mismas ideas en funciones polinómicas para ver que el razonamiento sigue siendo válido.

¿Qué propiedades veremos?

Las propiedades que visualizaremos hoy son:

Partición del intervalo:

\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx \quad \text{(si } a < c < b\text{)}

Integral de la suma de funciones:

\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx

Constante por una función:

\int_a^b c \, f(x) \, dx = c \int_a^b f(x) \, dx \quad \text{(donde \(c\) es un número real)}

Durante el laboratorio, verán que cada una de estas propiedades se refleja de manera clara en las áreas bajo las curvas que graficaremos.

Definición de las funciones escalonadas

Para visualizar las propiedades de la integral de forma sencilla y clara, vamos a trabajar primero con dos funciones escalonadas:

$f(x) = \lfloor x \rfloor$
$g(x) = \lfloor 2x \rfloor$

Donde el símbolo $\lfloor x \rfloor$ representa la parte entera de $x$ , es decir, el mayor número entero que es menor o igual a $x$ .

Estas funciones tienen saltos en puntos enteros (o semienteros, en el caso de $g(x)$ ), lo cual nos permite ver claramente cómo se comportan las áreas al aplicar operaciones como suma, partición del intervalo o multiplicación por constantes.

Código para graficar las funciones escalonadas

El siguiente código en Python genera la gráfica de $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[0,5]$ , representándolas con puntos para respetar la naturaleza de las funciones escalonadas:


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
def f(x):
    return np.floor(x)
 
def g(x):
    return np.floor(2 * x)
 
x = np.linspace(0, 5, 1000)
 
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
ax.plot(x, f(x), '.', label=r'$f(x) = \lfloor x \rfloor$')
ax.plot(x, g(x), '.', label=r'$g(x) = \lfloor 2x \rfloor$')
ax.set_title("Funciones escalonadas $f(x)$ y $g(x)$")
ax.legend()
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")
ax.grid(True)
plt.show()

¿Qué observar en la gráfica?

$f(x)$ permanece constante en intervalos de longitud 1 y salta en los enteros.
$g(x)$ tiene el doble de saltos: cambia su valor cada 0.5 unidades.
Ninguna de las dos funciones es continua, pero ambas son funciones válidas: a cada valor de $x$ le corresponde exactamente un valor de $f(x)$ y de $g(x)$ .
Esto hace que sean ideales para practicar las propiedades básicas de la integral.

Propiedad 1: Partición del intervalo

La primera propiedad que vamos a visualizar es la partición del intervalo de integración.

La propiedad dice que si $a < c < b$ , entonces:

\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx

Es decir, integrar una función en un intervalo grande es lo mismo que integrar en dos partes más pequeñas y sumar los resultados.

Para verlo con nuestras funciones, vamos a calcular:

\int_0^5 f(x) \, dx = \int_0^3 f(x) \, dx + \int_3^5 f(x) \, dx

Código para visualizar la partición

En el siguiente código graficamos dos imágenes lado a lado: a la izquierda, las áreas separadas; a la derecha, el área total.


fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
 
# Áreas separadas
axs[0].plot(x, f(x), '.', color='blue', label=r'$f(x) = \lfloor x \rfloor$')
x1 = np.linspace(0, 3, 500)
x2 = np.linspace(3, 5, 500)
axs[0].fill_between(x1, 0, f(x1), alpha=0.5, color='lightblue', label=r'$\int_0^3 f(x)$')
axs[0].fill_between(x2, 0, f(x2), alpha=0.5, color='lightgreen', label=r'$\int_3^5 f(x)$')
axs[0].set_title("Partición en [0,3] y [3,5]")
axs[0].legend()
axs[0].set_xlabel("x")
axs[0].set_ylabel("y")
axs[0].grid(True)
 
# Área total
axs[1].plot(x, f(x), '.', color='blue', label=r'$f(x) = \lfloor x \rfloor$')
axs[1].fill_between(x, 0, f(x), alpha=0.5, color='lightcoral', label=r'$\int_0^5 f(x)$')
axs[1].set_title("Área total en [0,5]")
axs[1].legend()
axs[1].set_xlabel("x")
axs[1].set_ylabel("y")
axs[1].grid(True)
 
plt.tight_layout()
plt.show()

¿Qué observar en las gráficas?

En la primera gráfica, el área bajo $f(x)$ se divide en dos partes: de $0$ a $3$ , y de $3$ a $5$ .
En la segunda gráfica, el área es la misma pero visualizada de una sola vez, en todo el intervalo $[0,5]$ .
Si se dan cuenta, no estamos calculando ninguna integral manualmente: simplemente rellenamos el área bajo la curva usando fill_between.
Eso es precisamente una integral, es el área bajo la curva

Propiedad 2: Integral de la suma de funciones

La segunda propiedad que vamos a visualizar es que la integral de la suma de dos funciones es la suma de sus integrales.

Formalmente:

\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx

Esto significa que podemos integrar cada función por separado, sumar las áreas, y obtendremos el mismo resultado que integrando su suma directamente.

Trabajaremos con las funciones escalonadas:

$f(x) = \lfloor x \rfloor$
$g(x) = \lfloor 2x \rfloor$

en el intervalo $[0,5]$ .

Código para visualizar la propiedad

Primero graficamos las áreas bajo $f(x)$ y $g(x)$ por separado, y luego graficamos el área bajo $f(x) + g(x)$ :


fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
 
# Áreas de f(x) y g(x) por separado
axs[0].plot(x, f(x), '.', color='blue', label=r'$f(x) = \lfloor x \rfloor$')
axs[0].plot(x, g(x), '.', color='red', label=r'$g(x) = \lfloor 2x \rfloor$')
axs[0].fill_between(x, 0, f(x), alpha=1, color='lightblue', label=r'Área bajo $f(x)$')
axs[0].fill_between(x, 0, g(x), alpha=0.4, color='lightcoral', label=r'Área bajo $g(x)$')
axs[0].set_title("Áreas bajo $f(x)$ y $g(x)$ por separado")
axs[0].set_ylim(0, 15)
axs[0].legend()
axs[0].set_xlabel("x")
axs[0].set_ylabel("y")
axs[0].grid(True)
 
# Área de f(x) + g(x)
axs[1].plot(x, f(x) + g(x), '.', color='purple', label=r'$f(x) + g(x)$')
axs[1].fill_between(x, 0, f(x) + g(x), alpha=0.5, color='plum', label=r'Área bajo $f(x)+g(x)$')
axs[1].set_title("Área bajo la suma $f(x) + g(x)$")
axs[1].set_ylim(0, 15)
axs[1].legend()
axs[1].set_xlabel("x")
axs[1].set_ylabel("y")
axs[1].grid(True)
 
plt.tight_layout()
plt.show()

¿Qué observar en las gráficas?

En la primera gráfica vemos el área bajo $f(x)$ y el área bajo $g(x)$ dibujadas por separado.
En la segunda gráfica, el área bajo la suma $f(x) + g(x)$ corresponde a la combinación de las dos áreas anteriores.
De nuevo, no estamos calculando integrales manualmente: solo estamos “rellenando” áreas bajo curvas.
La integral de una suma es la suma de las integrales porque “área + área = área total”.

Propiedad 3: Constante por una función

La tercera propiedad que vamos a visualizar es que integrar una constante por una función es lo mismo que multiplicar la integral por esa constante.

Formalmente:

\int_a^b c \, f(x) \, dx = c \int_a^b f(x) \, dx

Esto significa que si multiplicamos una función por una constante, el área bajo la curva también se multiplica por esa constante.

En nuestro caso, trabajaremos con:

$f(x) = \lfloor x \rfloor$
Y la función escalada: $2f(x) = 2 \times \lfloor x \rfloor$

en el intervalo $[0,5]$ .

Código para visualizar la propiedad

Primero graficamos el área bajo $f(x)$ , y luego el área bajo $2f(x)$ :


fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
 
# Área bajo f(x)
axs[0].plot(x, f(x), '.', color='blue', label=r'$f(x) = \lfloor x \rfloor$')
axs[0].fill_between(x, 0, f(x), alpha=0.5, color='lightblue', label=r'Área bajo $f(x)$')
axs[0].set_ylim(0, 15)
axs[0].set_title("Área bajo $f(x)$")
axs[0].legend()
axs[0].set_xlabel("x")
axs[0].set_ylabel("y")
axs[0].grid(True)
 
# Área bajo 2f(x)
axs[1].plot(x, 2*f(x), '.', color='green', label=r'$2f(x)$')
axs[1].fill_between(x, 0, 2*f(x), alpha=0.5, color='lightgreen', label=r'Área bajo $2f(x)$')
axs[1].set_ylim(0, 30)
axs[1].set_title("Área bajo $2f(x)$")
axs[1].legend()
axs[1].set_xlabel("x")
axs[1].set_ylabel("y")
axs[1].grid(True)
 
plt.tight_layout()
plt.show()

¿Qué observar en las gráficas?

En la primera gráfica tenemos el área bajo $f(x)$ , limitada de 0 a 15.
En la segunda gráfica, el área bajo $2f(x)$ es exactamente el doble, limitada de 0 a 30.
Al multiplicar la función por 2, el área bajo la curva también se multiplica por 2.
Integrar la función escalada equivale a escalar la integral.

Concluyendo

Hasta este punto hemos visualizado tres propiedades fundamentales de la integral definida utilizando funciones escalonadas:

La integral de un intervalo se puede dividir en subintervalos y sumar los resultados.
La integral de una suma de funciones es la suma de las integrales de cada función.
Integrar una constante multiplicada por una función es lo mismo que multiplicar la integral por esa constante.

Todas estas propiedades se reflejan claramente cuando pensamos en el área bajo la curva:
integrar es, en esencia, sumar áreas

Aunque nuestras funciones $f(x)$ y $g(x)$ no eran continuas (tenían saltos), las propiedades de la integral siguen siendo válidas.

Esta intuición será muy valiosa ahora que vamos a pasar a trabajar con funciones polinómicas, donde las gráficas serán suaves y continuas.