Integrales en coordenadas poláres

✍️ ¿De dónde viene la fórmula del área en coordenadas polares?

Cuando trabajamos en coordenadas cartesianas, calculamos el área bajo una curva $y = f(x)$ con:

A = \int_a^b f(x)\, dx

Esto funciona porque estamos sumando tiras verticales de altura $f(x)$ y base $dx$ .

📐 ¿Cómo cambiamos esta idea en coordenadas polares?

En coordenadas polares, no sumamos rectángulos, sino sectores circulares muy delgados.

Imaginen que dividimos una región curva (como una flor o un círculo) en muchos “triangulitos redondeados”, como las rebanadas de una pizza 🍕.
Cada rebanada tiene:

Un radio $r = r(\theta)$
Un pequeño ángulo $d\theta$

El área de un sector circular es:

A = \frac{1}{2} r^2 \theta

Entonces, si $\theta$ es muy pequeño ( $d\theta$ ), podemos usar esta fórmula para aproximar el área de una rebanada infinitesimal:

dA = \frac{1}{2} r^2(\theta) \, d\theta

🔄 Sumando infinitas rebanadas…

Para obtener el área total entre los ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ , simplemente integramos:

A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2} \left[ r(\theta) \right]^2\, d\theta

Esta es la fórmula del área en coordenadas polares

🎨 Visualización: sectores que construyen un área

El siguiente código muestra cómo una curva en polares puede ser aproximada por varios sectores, cada uno con su propio radio y ángulo.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# Parámetros para la curva
theta_full = np.linspace(0, np.pi, 1000)
r_full = 1 + 0.5 * np.sin(2 * theta_full)
 
# Convertimos a coordenadas cartesianas
x_full = r_full * np.cos(theta_full)
y_full = r_full * np.sin(theta_full)
 
# Sectores aproximados (pocos para visualización)
theta_sect = np.linspace(0, np.pi, 8)
r_sect = 1 + 0.5 * np.sin(2 * theta_sect)
 
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
ax.set_aspect('equal')
ax.set_xlim(-2, 2)
ax.set_ylim(-0.5, 2.5)
ax.set_title("Aproximación del área con sectores vs. curva real")
ax.grid(True)
 
# Área total encerrada por la curva (relleno suave)
ax.fill(x_full, y_full, alpha=0.2, color='pink', label='Área real')
 
# Curva real
ax.plot(x_full, y_full, color='crimson', label=r'$r = 1 + 0.5\sin(2\theta)$')
 
# Sectores circulares aproximados
for i in range(len(theta_sect)-1):
    θ1 = theta_sect[i]
    θ2 = theta_sect[i+1]
    r = r_sect[i]
    t = np.linspace(θ1, θ2, 30)
    rt = np.full_like(t, r)
    x = rt * np.cos(t)
    y = rt * np.sin(t)
    ax.fill(np.concatenate([[0], x, [0]]), np.concatenate([[0], y, [0]]), alpha=0.3, color='orange')
    ax.plot(x, y, color='darkorange')
 
# Centro
ax.plot(0, 0, 'ko')
ax.legend()
plt.show()

🧮 Ejemplo: área encerrada por $r = 1 + \cos(\theta)$

Queremos calcular el área encerrada por la curva polar:

r(\theta) = 1 + \cos(\theta)

Esta curva es una cardioide más estilizada, con forma de gota o corazón. Es un ejemplo clásico y visualmente claro de curva que no puede expresarse fácilmente en coordenadas cartesianas.

📍 Paso 1: Visualizar la curva


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)
r = 1 + np.cos(theta)
x = r * np.cos(theta)
y = r * np.sin(theta)
 
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(x, y, color='darkred', label=r'$r = 1 + \cos(\theta)$')
plt.fill(x, y, alpha=0.2, color='darkred')
plt.gca().set_aspect('equal')
plt.title("Curva polar: $r = 1 + \cos(\\theta)$")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

📍 Paso 2: Determinar los límites de integración

La curva se cierra completamente cuando $\theta$ recorre desde $0$ hasta $2\pi$ , así que:

\theta \in [0, 2\pi]

📍 Paso 3: Aplicar la fórmula del área

A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \left[1 + \cos(\theta)\right]^2 \, d\theta

Expandimos el integrando:

(1 + \cos(\theta))^2 = 1 + 2\cos(\theta) + \cos^2(\theta)

Y usamos la identidad:

\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}

Entonces:

A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left(1 + 2\cos(\theta) + \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right) \, d\theta \\ = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left(\frac{3}{2} + 2\cos(\theta) + \frac{1}{2}\cos(2\theta)\right) \, d\theta

📐 Integramos término a término:

A = \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2} \cdot 2\pi + 2 \cdot \int_0^{2\pi} \cos(\theta)\, d\theta + \frac{1}{2} \cdot \int_0^{2\pi} \cos(2\theta)\, d\theta \right] \\ = \frac{1}{2} \left[3\pi + 0 + 0\right] = \frac{3\pi}{2}

✅ Resultado final

El área encerrada por la curva $r = 1 + \cos(\theta)$ es:

A = \frac{3\pi}{2}

🧪 Verificación con SymPy


from sympy import symbols, integrate, cos, pi, simplify
 
θ = symbols('θ')
r = 1 + cos(θ)
area_expr = 0.5 * r**2
area = integrate(area_expr, (θ, 0, 2*pi))
simplify(area)

🧠 Conclusiones del ejemplo

Esta curva tiene forma reconocible y no trivial, lo que la hace ideal para estudiar integrales en coordenadas polares.
La integral es manejable usando identidades trigonométricas.
El área se obtiene sin convertir a coordenadas cartesianas.