Puntos y curvas simples

Una gran ventaja de las coordenadas polares es que muchas curvas que son difíciles de expresar en cartesianas, se describen de forma sencilla con una función del tipo:

r = f(\theta)

Esto nos permite graficar puntos individuales como $(r, \theta)$ y también curvas completas variando $\theta$ en un intervalo.

📍 Graficar puntos polares individuales

Para graficar un punto polar $(r, \theta)$ :

Mide el ángulo $\theta$ desde el eje $x$ , en sentido antihorario.
Avanza $r$ unidades desde el origen en esa dirección.

El siguiente código grafica algunos puntos conocidos:


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
puntos = [
    (1, np.pi/4),
    (2, np.pi),
    (1, 5*np.pi/2),  # misma dirección que π/2
    (-1, 0),         # equivalente a (1, π)
    (0, np.pi/3)     # origen
]
 
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
ax.set_aspect('equal')
ax.set_title("Puntos individuales en coordenadas polares")
ax.set_xlim(-2.5, 2.5)
ax.set_ylim(-2.5, 2.5)
ax.axhline(0, color='gray')
ax.axvline(0, color='gray')
ax.grid(True)
 
for r, theta in puntos:
    x = r * np.cos(theta)
    y = r * np.sin(theta)
    ax.plot(x, y, 'o')
    ax.annotate(f"({r:.1f}, {theta:.2f})", (x, y), textcoords="offset points", xytext=(5, 5))
 
plt.show()

📉 Graficar curvas definidas por $r = f(\theta)$

Cuando tenemos una función $r = f(\theta)$ , podemos graficarla variando $\theta$ en un intervalo, típicamente $[0, 2\pi]$ .
Esto genera curvas como:

Círculo: $r = 1$
Espiral: $r = \theta$
Cardioide: $r = 1 + \cos(\theta)$
Flor polar: $r = \cos(k\theta)$

Ejemplo visual: una cardioide.


theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)
r = 1 + np.cos(theta)
 
x = r * np.cos(theta)
y = r * np.sin(theta)
 
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(x, y, color='crimson')
plt.gca().set_aspect('equal')
plt.title("Curva polar: $r = 1 + \cos(\\theta)$")
plt.grid(True)
plt.show()

Puntos y curvas simples

📍 Graficar puntos polares individuales

📉 Graficar curvas definidas por r=f(θ)r = f(\theta)r=f(θ)

📉 Graficar curvas definidas por $r = f(\theta)$