Ejercicios

Para cerrar este laboratorio, resolveremos juntos un ejercicio que retoma y combina varias de las ideas vistas hoy. Luego, se propondrá un ejercicio similar para que lo resuelvan de manera individual o en grupo.

👨‍🏫 Ejercicio 1

Consideremos la siguiente sucesión definida recursivamente:

a_1 = 1,\quad a_n = a_{n-1} + \frac{1}{n^2}

Implementar esta sucesión recursiva en Python.
Calcular los primeros 30 términos de la sucesión.
Graficar los valores $a_n$ en función de $n$ .
¿Hacia qué valor parece acercarse la sucesión?
Comparar la gráfica con la integral definida:

\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\, dx

¿Existe relación con la suma de los términos de esta sucesión?

✅ Solución


def sucesion_parcial(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return sucesion_parcial(n - 1) + 1 / n**2
 
# Calcular primeros 30 términos
valores = [sucesion_parcial(n) for n in range(1, 31)]
 
# Graficar
import matplotlib.pyplot as plt
 
plt.plot(range(1, 31), valores, marker='o')
plt.title("Sucesión $a_n = a_{n-1} + 1/n^2$")
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("a_n")
plt.grid(True)
plt.show()

Este gráfico muestra cómo la sucesión se aproxima a un valor límite, lo que sugiere que la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge.

De hecho, se conoce que:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449

Ejercicio 2

Considerar ahora la siguiente sucesión:

b_1 = 0,\quad b_n = b_{n-1} + \frac{1}{n(n+1)}

Implementar la sucesión recursiva en Python.
Calcular y grafica los primeros 30 términos.
¿A qué valor parece acercarse la sucesión?
Investigar si esta serie tiene una suma conocida.

Pista: los términos de la sucesión están relacionados con una serie telescópica, cuyas sumas parciales se pueden simplificar notablemente.