Ejemplos concretos de puntos

Ahora que sabemos cómo convertir entre coordenadas cartesianas y polares, practiquemos con algunos ejemplos representativos.

📌 Ejemplo 1: De polares a cartesianas

Supongamos el punto en coordenadas polares:

(r, \theta) = (2, \frac{\pi}{3})

Aplicamos las fórmulas:

x = r \cos(\theta) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \\ y = r \sin(\theta) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

Entonces, el punto cartesiano es $(1, \sqrt{3})$ .

📌 Ejemplo 2: De cartesianas a polares

Ahora partimos del punto:

(x, y) = (-\sqrt{3}, -1)

Calculamos:

r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 \\ \theta = \text{atan2}(-1, -\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{3} \text{ (o } -\frac{\pi}{3} \text{)}

Entonces, el punto polar es $(2, 5\pi/3)$ .

🔍 Visualización de ejemplos

El siguiente código grafica cada punto en el plano, mostrando tanto su representación cartesiana como polar.


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# Lista de ejemplos: (x, y), o (r, θ)
ejemplos = [
    {"tipo": "polar", "r": 2, "theta": np.pi/3},
    {"tipo": "cartesiano", "x": -np.sqrt(3), "y": -1},
    {"tipo": "polar", "r": 1, "theta": 3*np.pi/2},
    {"tipo": "cartesiano", "x": 0, "y": 2}
]
 
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
ax.set_aspect('equal')
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-3, 3)
ax.set_title("Representación de puntos en ambos sistemas")
ax.grid(True)
ax.axhline(0, color='gray')
ax.axvline(0, color='gray')
 
for punto in ejemplos:
    if punto["tipo"] == "polar":
        r = punto["r"]
        theta = punto["theta"]
        x = r * np.cos(theta)
        y = r * np.sin(theta)
        label = f"(r={r:.1f}, θ={theta:.2f})"
    else:
        x = punto["x"]
        y = punto["y"]
        r = np.sqrt(x**2 + y**2)
        theta = np.arctan2(y, x)
        label = f"(x={x:.1f}, y={y:.1f})"
 
    ax.plot(x, y, 'o')
    ax.annotate(label, (x, y), textcoords="offset points", xytext=(5, 5))
 
plt.show()

🧠 Observaciones clave

Múltiples coordenadas polares pueden describir el mismo punto.
Si $r = 0$ , el punto es el origen sin importar el valor de $\theta$ .
Si $\theta$ es mayor a $2\pi$ , el punto sigue siendo válido (una vuelta adicional).