Ejercicio grupal: aproximación del área bajo una parábola

Ahora que ya visualizamos cómo el método de exhausción aproxima el área de un círculo encerrándolo entre polígonos, vamos a aplicar una idea muy similar para aproximar el área bajo una curva.

En este caso, en lugar de usar polígonos, usaremos rectángulos. Esta técnica es precursora de las sumas de Riemann, y sigue el mismo espíritu: construir figuras geométricas cuya área sí sepamos calcular, y que en conjunto se acerquen al área real de la región que queremos medir.

Objetivo

Aproximar el área bajo la función cuadrática $f(x) = x^2$ en el intervalo $[0, 1]$ usando rectángulos:

Rectángulos interiores: aquellos cuya altura es el menor valor de la función en cada subintervalo.
Rectángulos exteriores: aquellos cuya altura es el mayor valor de la función en cada subintervalo.

Instrucciones

Dividan el intervalo $[0, 1]$ en $n$ subintervalos de igual tamaño.
En cada subintervalo, calculen:
- El valor mínimo y máximo de la función.
- El área del rectángulo correspondiente.
Sumen todas las áreas para obtener dos aproximaciones: una por debajo y otra por encima.
Comparen ambos resultados con el valor real del área bajo la curva:

\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}

Visualicen los rectángulos junto a la curva usando matplotlib.

Código en Python

Este es un ejemplo funcional que pueden ejecutar y modificar para entender cómo cambia la aproximación al variar el número de rectángulos:


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
def f(x):
    return x**2
 
def aproximar_area_parabola(n):
    a, b = 0, 1
    x = np.linspace(a, b, n + 1)
    dx = (b - a) / n
 
    # Evaluar en extremos izquierdo y derecho de cada subintervalo
    x_izq = x[:-1]  # extremos izquierdos
    x_der = x[1:]   # extremos derechos
 
    y_izq = f(x_izq)  # para área interior
    y_der = f(x_der)  # para área exterior
 
    area_interior = np.sum(y_izq * dx)
    area_exterior = np.sum(y_der * dx)
    area_real = 1 / 3
 
    # Mostrar resultados
    print(f"n = {n}")
    print(f"Área interior (por debajo):     {area_interior:.6f}")
    print(f"Área exterior (por encima):     {area_exterior:.6f}")
    print(f"Área exacta:                    {area_real:.6f}")
    print(f"Error relativo inferior:        {abs(area_real - area_interior) / area_real:.2%}")
    print(f"Error relativo superior:        {abs(area_exterior - area_real) / area_real:.2%}")
 
    # Visualización
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
    x_fine = np.linspace(a, b, 1000)
    ax.plot(x_fine, f(x_fine), label='f(x) = x²', color='black')
 
    # Rectángulos interiores (azules)
    ax.bar(x_izq, y_izq, width=dx, align='edge', alpha=0.5,
           label='Rectángulos interiores', color='lightblue', edgecolor='black', linewidth=1)
 
    # Rectángulos exteriores (rojos)
    ax.bar(x_izq, y_der, width=dx, align='edge', alpha=0.3,
           label='Rectángulos exteriores', color='lightcoral', edgecolor='black', linewidth=1)
 
    ax.set_title(f"Aproximación con n = {n}")
    ax.legend()
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("f(x)")
    plt.grid(True)
    plt.show()
 
# Ejemplo de uso
aproximar_area_parabola(n=5)

¿Qué deberían explorar?

Prueben con distintos valores $n$ : 5, 10, 50, 100.
Observen cómo las áreas interior y exterior convergen hacia el mismo número.
¿Qué tan rápido converge esta aproximación?
¿Qué relación hay entre la formula propuesta por Arquímedes si hacemos $n = 1$ ?

Ejercicio: aproximación del área bajo la raíz cuadrada

Para finalizar el laboratorio, trabajaremos en un ejercicio muy parecido al que hicimos en grupo, pero aplicándolo a otra función.

Objetivo

Aproximar el área bajo la curva de la función raíz cuadrada:

f(x) = \sqrt{x}

en el intervalo $[0, 1]$

Al igual que antes, la idea es construir:

Rectángulos interiores: evaluando la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo.
Rectángulos exteriores: evaluando la función en el extremo derecho de cada subintervalo.

La integral exacta en este caso es:

\int_0^1 \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3}

¿Qué deberían explorar?

Prueben con distintos valores de $n$
Observen cómo disminuye la diferencia entre el área interior y exterior.
Comparen los errores relativos con los obtenidos en el ejercicio anterior.
¿Con cuántos rectángulos se logra un error menor al 1%?

Comentarios finales

Este ejercicio permite ver cómo el método de exhausción funciona con otras funciones crecientes. La diferencia entre áreas es más notoria aquí debido a la forma de la curva. Esta intuición será muy útil más adelante cuando trabajemos con sumas de Riemann e integrales definidas.