🧾 Nuestro conjunto de datos: dígitos escritos a mano

Hoy trabajaremos con un conjunto real de datos llamado Digits MNIST.
Contiene imágenes pequeñas de números del 0 al 9, escritas a mano por distintas personas.

Pero antes de usar estas imágenes para hacer clustering, detengámonos a entender cómo se representa una imagen dentro de un computador.

🖼️ ¿Qué es una imagen digital?

Una imagen digital está formada por una cuadrícula de píxeles.
Cada píxel es una pequeña unidad que tiene un color o nivel de intensidad.

En el caso de imágenes en escala de grises, cada píxel se representa por un solo número que indica qué tan claro u oscuro es ese punto:

• Un valor bajo (cerca de 0) representa un píxel negro.
• Un valor alto (cerca de 16 o 255, según el rango) representa un píxel blanco.

🧮 Nuestro caso: imágenes de 8×8

En el conjunto Digits MNIST, cada imagen tiene tamaño 8 filas × 8 columnas.
Es decir, una cuadrícula de 64 píxeles en total.

Cada imagen se puede ver como una matriz:

[
  [0, 0, 2, 13, 5, 0, 0, 0],
  [0, 0, 13, 15, 10, 0, 0, 0],
  [0, 3, 15, 7, 0, 0, 0, 0],
  ...
]

Esta matriz representa cómo se ve el número “3” desde el punto de vista de la máquina.

🧠 ¿Qué hace la computadora con esta matriz?

Para procesarla, la computadora no ve una imagen.
Lo que hace es convertir esta matriz en una lista de números: un vector con 64 valores.

[0, 0, 2, 13, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 13, 15, 10, 0, 0, 0, ..., 0]

Este vector es lo que usamos como entrada para los algoritmos de machine learning.

Cada imagen es, entonces, un punto en un espacio de 64 dimensiones.

Y ese será el punto de partida para lo que viene a continuación.

📷 Visualizando una imagen creada a mano

Veamos cómo se construye una imagen digital simple desde una matriz de números.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
 
# Imagen 8x8 que representa un "3"
image = np.array([
    [16, 16,  4,  2,  2,  4, 16, 16],
    [16, 10, 16, 16, 16, 16,  6, 16],
    [16, 16, 16, 16, 16, 16,  6, 16],
    [16, 16,  8,  8,  8,  8, 16, 16],
    [16, 16, 16, 16, 16, 16,  6, 16],
    [16,  8, 16, 16, 16, 16,  6, 16],
    [16, 16,  4,  4,  4,  4, 16, 16],
    [16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16],
])
 
# Mostrar la matriz
print("Matriz de intensidades (0 = negro, 16 = blanco):")
print(image)
 
# Visualizar la imagen (invertimos el mapa de colores para que 0 sea negro)
plt.imshow(image, cmap="gray_r", interpolation="nearest")
plt.title("Dígito 3 hecho a mano")
plt.axis("off")
plt.show()

Esta imagen es una cuadrícula de 8x8 píxeles.
Cada número representa el nivel de intensidad en escala de grises:
cuanto más alto el número, más claro el píxel.

🔢 De imagen a vector

Para que los algoritmos de machine learning puedan procesar una imagen, deben convertirla en una estructura que puedan manipular matemáticamente: un vector.

La imagen de 8×8 se transforma en un vector de 64 números:
simplemente se “aplanan” las filas una tras otra.

# Aplanar la imagen a un vector de 64 dimensiones
vector = image.flatten()
 
# Mostrar el vector resultante
print("Vector plano de la imagen (longitud 64):")
print(vector)

Este vector representa un punto en un espacio de 64 dimensiones.
Cada componente del vector corresponde a la intensidad de un píxel.

La computadora no “ve” una imagen como nosotros, sino como una lista de números que pueden ser comparados, agrupados o analizados.

Así es como las imágenes entran al mundo del cálculo y el álgebra lineal: como vectores de alta dimensión.

🔁 Recapitulación: de imagen a aprendizaje automático

Hasta ahora, hemos construido a mano una imagen del número 3, representada como una cuadrícula de píxeles en escala de grises.
Esa imagen, para la máquina, no es más que una matriz de números.

Convertimos esa matriz en un vector de 64 componentes:
un punto en un espacio de 64 dimensiones.

🤖 ¿Qué busca hacer el aprendizaje automático con ese vector?

El aprendizaje automático (machine learning) parte de datos representados numéricamente, como este vector, para que la máquina pueda:

• Detectar patrones.
• Agrupar ejemplos similares.
• Predecir resultados.
• Clasificar nuevas entradas.

🧭 ¿Cómo se diferencia el aprendizaje supervisado del no supervisado?

✅ En aprendizaje supervisado:

Cada imagen viene acompañada de su etiqueta verdadera.
Por ejemplo: el vector que representa al “3” viene con la etiqueta "3".

La tarea del modelo es aprender una función que asocie vectores con etiquetas:

Matemáticamente, se busca ajustar una función
$f: \mathbb{R}^{64} \rightarrow \{0, 1, ..., 9\}$
que prediga correctamente el número que aparece en la imagen.

🔍 En aprendizaje no supervisado:

Solo tenemos los vectores.
No sabemos a qué dígito corresponde cada imagen.

El objetivo es descubrir estructura en los datos:
¿Existen grupos naturales de imágenes parecidas?
¿Podemos agrupar los “3” aunque no sepamos que son “3”?

Aquí no buscamos una función de clasificación, sino una manera de organizar los datos.

🔢 ¿Y qué rol juegan las matemáticas?

• El vector que representa la imagen vive en el espacio $\mathbb{R}^{64}$.
• Podemos medir distancias entre vectores usando geometría.
• Podemos calcular el promedio (centroide) de varios vectores.
• Podemos usar álgebra lineal para transformar y proyectar los datos.

Todas estas herramientas permitirán que la máquina encuentre grupos y aprenda patrones, incluso sin saber qué está viendo.

Y esa será la clave del resto del laboratorio:
ver cómo, con herramientas que ya conocen, una máquina puede comenzar a descubrir estructura en los datos.