De sucesiones a series: sumar para medir

🔗 Sucesiones que se suman: series numéricas

Toda sucesión $\{a_n\}$ genera naturalmente una serie al sumar sus términos:

S_N = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_N = \sum_{n=1}^{N} a_n

Esto se llama la serie parcial de orden $N$ . Si continuamos este proceso indefinidamente, hablamos de una serie infinita:

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

Una serie infinita es una herramienta para medir acumulaciones infinitas de valores discretos. Este es el paso natural luego de estudiar integrales, porque:

En una integral definida, también estamos sumando infinitas cantidades pequeñas (áreas de rectángulos de base infinitesimal).
En una serie infinita, estamos sumando valores discretos $a_n$ , usualmente definidos por una sucesión.

📏 El cálculo como medición

El cálculo integral busca medir cuánto hay “bajo una curva”:

\int_a^b f(x) \, dx

Esta integral es una suma infinita de valores pequeños: $f(x)\cdot \Delta x$ , a medida que $\Delta x \to 0$ .

🔢 Serie vs. integral: analogía

Cuando una sucesión proviene de una función continua $f(n)$ , podemos comparar su suma con una integral:

\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \quad \leftrightarrow \quad \int_1^\infty f(x)\, dx

Esta conexión permite estimar series con integrales, y viceversa. Ambas expresiones responden la misma pregunta: ¿cuánto se acumula si sumamos infinitamente?

📊 Visualización: barras como sumas, curvas como integrales


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# Sucesión: a_n = 1 / n^2
n = np.arange(1, 21)
a_n = 1 / n**2
 
# Función continua f(x) = 1 / x^2
x = np.linspace(1, 20, 500)
f_x = 1 / x**2
 
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.bar(n, a_n, width=1.0, alpha=0.4, label="Términos $a_n$")
plt.plot(x, f_x, color="red", label="$f(x) = 1/x^2$")
plt.title("Sucesión $a_n = 1/n^2$ vs. curva continua $f(x)$")
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("Altura")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

🧠 Conclusión

Las series son sumas infinitas de los términos de una sucesión.
Las integrales son sumas infinitas de áreas bajo una curva.
Ambas representan formas distintas de medir acumulaciones: una en el dominio discreto, la otra en el continuo.
Estudiar series es el siguiente paso natural luego del cálculo integral, y extiende su poder a contextos más generales, incluyendo algoritmos, física, y análisis matemático.