Método del trapecio

¿Por qué usar un trapecio?

Ahora que ya sabemos cómo dividir un intervalo, vamos a ver cómo podemos aproximar el área bajo una curva usando la información que tenemos en los extremos.

Supongamos que queremos calcular el área bajo una función $f(x)$ en un intervalo $[a, b]$ .
Si no podemos hacerlo de forma exacta, una idea simple es:

Tomar los valores de la función en los extremos: $f(a)$ y $f(b)$ .
Trazar una línea recta que conecte esos dos puntos.
Calcular el área del trapecio que se forma entre la curva y el eje $x$ .

Visualmente, estamos aproximando la curva por una recta, y el área bajo esa recta es fácil de calcular:

\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b - a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right]

Esta es la fórmula del método del trapecio para un solo subintervalo.

Es una aproximación sencilla, pero sorprendentemente buena si la función es suave en ese intervalo.
Más adelante, veremos cómo generalizar esta idea dividiendo el intervalo en muchos subintervalos pequeños.

Fórmula general del método del trapecio

Si la aproximación con un solo trapecio funciona bien en algunos casos, usar varios trapecios pequeños suele funcionar aún mejor.

Para eso, dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos de largo $h = \frac{b - a}{n}$ , como vimos antes.

Luego, evaluamos la función en cada uno de los puntos de la partición:

x_0 = a,\quad x_1 = a + h,\quad x_2 = a + 2h,\quad \dots,\quad x_n = b

La fórmula del método del trapecio generalizado es:

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]

Observaciones importantes:

Los puntos extremos $f(x_0)$ y $f(x_n)$ se cuentan una sola vez.
Los puntos intermedios se comparten entre dos trapecios, por eso se multiplican por 2.
Esta fórmula permite sumar eficientemente todas las áreas de los trapecios entre cada par de puntos consecutivos.

En el siguiente bloque implementaremos este método paso a paso en Python.