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Coordenadas polaresIntroducción

🧭 Introducción: ¿Por qué coordenadas polares?

“No todos los caminos se recorren en línea recta, ni todas las curvas se entienden bien con ejes x y y.”

En cursos anteriores hemos trabajado principalmente en el plano cartesiano, donde cada punto se representa como una pareja (x,y)(x, y) que indica su posición horizontal y vertical. Este sistema funciona muy bien para describir líneas rectas, rectángulos o incluso parábolas.
Sin embargo, hay figuras y situaciones donde el uso de coordenadas cartesianas puede complicar innecesariamente los cálculos o la representación gráfica.

Por ejemplo:

  • Un círculo con centro en el origen requiere la ecuación x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2, que no es lineal ni fácilmente integrable en muchos casos.
  • Una espiral como la que traza un ventilador o una galaxia no se describe fácilmente en cartesianas.
  • Una flor simétrica de varios pétalos (como patrones en antenas o gráficos polares en electrónica) tiene una expresión complicada en (x,y)(x, y), pero puede escribirse elegantemente como r=cos⁡(kθ)r = \cos(k\theta).

En estos casos, utilizar un sistema que describa directamente distancia al origen y ángulo de orientación puede ser más natural.

📌 Coordenadas polares: la idea clave

En lugar de describir un punto por su desplazamiento horizontal y vertical, el sistema polar lo hace usando:

  • rr: la distancia del punto al origen.
  • θ\theta: el ángulo (en radianes) que forma la línea del origen al punto con el eje xx positivo, medido en sentido antihorario.

Representamos entonces cada punto como una pareja polar:

(r,θ)(r, \theta)

Por ejemplo, el punto (1,π/4)(1, \pi/4) en coordenadas polares está a una unidad del origen, en dirección de 45∘45^\circ respecto al eje xx.

Este cambio de perspectiva también nos obliga a repensar cómo definimos y calculamos áreas, curvas, simetrías y regiones en el plano.

En este laboratorio exploraremos este nuevo sistema paso a paso: aprenderemos a visualizar curvas, a convertir expresiones entre sistemas y a calcular áreas encerradas por curvas en coordenadas polares.

🔍 Visualización: ¿Qué tan natural es cada sistema?

A continuación comparamos cómo se describe y visualiza una misma curva usando coordenadas cartesianas y polares.

🔵 1. Círculo con centro en el origen

En coordenadas cartesianas: x2+y2=1x^2 + y^2 = 1

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
x = np.linspace(-1.1, 1.1, 400)
y = np.linspace(-1.1, 1.1, 400)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X**2 + Y**2
 
plt.contour(X, Y, Z, levels=[1], colors='blue')
plt.gca().set_aspect('equal')
plt.title("Círculo en coordenadas cartesianas: $x^2 + y^2 = 1$")
plt.grid(True)
plt.show()

En coordenadas polares: r=1r = 1

theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)
r = np.ones_like(theta)
 
x = r * np.cos(theta)
y = r * np.sin(theta)
 
plt.plot(x, y, color='green')
plt.gca().set_aspect('equal')
plt.title("Círculo en coordenadas polares: $r = 1$")
plt.grid(True)
plt.show()

🌪️ 2. Espiral de Arquímedes

En coordenadas polares: r=θr = \theta

theta = np.linspace(0, 4 * np.pi, 1000)
r = theta
 
x = r * np.cos(theta)
y = r * np.sin(theta)
 
plt.plot(x, y, color='purple')
plt.gca().set_aspect('equal')
plt.title("Espiral de Arquímedes: $r = \\theta$")
plt.grid(True)
plt.show()

🌸 3. Rosa polar (4 pétalos)

En coordenadas polares: r=cos⁡(2θ)r = \cos(2\theta)

theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)
r = np.cos(2 * theta)
 
x = r * np.cos(theta)
y = r * np.sin(theta)
 
plt.plot(x, y, color='red')
plt.gca().set_aspect('equal')
plt.title("Rosa polar: $r = \\cos(2\\theta)$")
plt.grid(True)
plt.show()

Como pueden ver, muchas curvas se expresan de forma más simple y elegante en el sistema polar.
Esto no solo facilita su visualización, sino también su análisis matemático, como veremos más adelante al calcular áreas encerradas por estas curvas.

📐 ¿Área bajo la curva o área encerrada por la curva?

Cuando hablamos de integrales en cálculo, la mayoría de nosotros piensa inmediatamente en esto:

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\, dx

Esta integral se interpreta como el área bajo la curva y=f(x)y = f(x), es decir, el área comprendida entre la gráfica de la función y el eje xx, desde x=ax = a hasta x=bx = b.

Esta interpretación es muy útil cuando trabajamos con funciones explícitas y=f(x)y = f(x).
Pero, ¿qué pasa cuando tenemos curvas más complejas que no se pueden describir así?

🔄 Cambio de perspectiva: curvas cerradas

Consideremos, por ejemplo:

  • Un círculo de radio 1 centrado en el origen: x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
  • Una flor polar: r=cos⁡(2θ)r = \cos(2\theta)

Estas no son funciones en el sentido habitual, ya que:

  • No pasan la prueba de la recta vertical.
  • No se pueden escribir como y=f(x)y = f(x) o x=f(y)x = f(y) de forma simple.

Aun así, en ambos casos podemos preguntarnos por el área encerrada por la curva, no “el área bajo la curva”.

✅ ¿Qué área queremos calcular entonces?

  • Para funciones f(x)f(x) → el área bajo la curva.
  • Para curvas cerradas en coordenadas polares → el área encerrada por la curva.

En coordenadas polares, usamos una fórmula diferente que acumula sectores circulares en lugar de rectángulos:

A=∫θ1θ212[r(θ)]2 dθA = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2} \left[r(\theta)\right]^2 \, d\theta

Esta fórmula nos da el área encerrada entre el eje polar (θ=0\theta = 0), la curva r(θ)r(\theta) y el ángulo θ\theta.

🔍 Visualización: ¿Área bajo o área encerrada?

El siguiente código compara visualmente:

  • El área bajo una función f(x)f(x).
  • El área encerrada por una curva polar r(θ)r(\theta).
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# Área bajo la curva y = f(x)
x = np.linspace(0, np.pi, 300)
y = np.sin(x)
 
plt.figure(figsize=(12, 5))
 
# Subplot 1: Área bajo f(x)
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x, y, label=r'$y = \sin(x)$', color='blue')
plt.fill_between(x, 0, y, alpha=0.3, color='blue')
plt.title("Área bajo la curva $y = \sin(x)$")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.legend()
 
# Subplot 2: Área encerrada por r = cos(2θ)
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)
r = np.cos(2 * theta)
x_p = r * np.cos(theta)
y_p = r * np.sin(theta)
 
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x_p, y_p, color='red', label=r'$r = \cos(2\theta)$')
plt.fill(x_p, y_p, alpha=0.3, color='red')
plt.title("Área encerrada por la curva $r = \cos(2\\theta)$")
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.legend()
 
plt.tight_layout()
plt.show()

Como pueden ver, en el primer caso el área está “apoyada” sobre el eje xx, mientras que en el segundo caso, el área está completamente cerrada por la curva.
Ambos casos requieren integración, pero el enfoque y la fórmula son diferentes.

🧩 ¿Qué estamos sumando al integrar?

La diferencia entre integrar en cartesianas y polares no es solo de notación, también cambia lo que sumamos.

  • En coordenadas cartesianas, el área bajo la curva se aproxima sumando pequeños rectángulos:

    • Base: dxdx
    • Altura: f(x)f(x)
    • Área de cada rectángulo: f(x) dxf(x)\,dx

  • En coordenadas polares, el área encerrada por una curva se aproxima sumando sectores circulares:

    • Radio: r(θ)r(\theta)
    • Ángulo: dθd\theta
    • Área de cada sector: 12r2(θ) dθ\frac{1}{2} r^2(\theta)\,d\theta

Esto explica por qué la fórmula para el área en polares incluye el factor 12\frac{1}{2} y r2(θ)r^2(\theta): estamos sumando pedacitos de sectores circulares

🧠 Visualización de rectángulos vs. sectores

El siguiente gráfico muestra la diferencia entre ambas aproximaciones:

  • A la izquierda: suma de rectángulos bajo f(x)f(x)
  • A la derecha: suma de sectores para r(θ)r(\theta)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))
 
# --- Subplot 1: Aproximación con rectángulos (cartesianas)
x = np.linspace(0, np.pi, 100)
y = np.sin(x)
 
axs[0].plot(x, y, label=r'$y = \sin(x)$', color='blue')
 
# Dibujar rectángulos
n = 8
x_rect = np.linspace(0, np.pi, n+1)
dx = x_rect[1] - x_rect[0]
for i in range(n):
    xi = x_rect[i]
    yi = np.sin(xi)
    axs[0].add_patch(plt.Rectangle((xi, 0), dx, yi, alpha=0.3, color='blue'))
 
axs[0].set_title("Suma de rectángulos: área bajo $f(x)$")
axs[0].set_xlabel("x")
axs[0].set_ylabel("y")
axs[0].legend()
axs[0].grid(True)
 
# --- Subplot 2: Aproximación con sectores (polares)
theta = np.linspace(0, np.pi/2, 9)
r = 1 + 0.5 * np.sin(3 * theta)  # función radial cualquiera
 
axs[1].set_title("Suma de sectores: área encerrada por $r(\\theta)$")
axs[1].set_aspect('equal')
axs[1].grid(True)
 
# Dibujar sectores circulares
for i in range(len(theta) - 1):
    t1 = theta[i]
    t2 = theta[i+1]
    r_val = r[i]
    t = np.linspace(t1, t2, 30)
    rt = np.full_like(t, r_val)
    x = rt * np.cos(t)
    y = rt * np.sin(t)
    axs[1].plot(x, y, color='red')
    axs[1].fill(np.concatenate([[0], x, [0]]), np.concatenate([[0], y, [0]]), color='red', alpha=0.3)
 
axs[1].set_xlim(-1.5, 1.5)
axs[1].set_ylim(0, 1.5)
 
plt.tight_layout()
plt.show()

Esta comparación visual te ayuda a entender cómo cambia la idea de “área” dependiendo del sistema de coordenadas.

  • En cartesianas: sumamos tiras rectangulares verticales.
  • En polares: sumamos rebanadas como las de una pizza 🍕
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K-Means y centroidesDefinición del sistema polar