🧪 Ejercicio: Integrar logaritmos a mano… y con trapecios

Aplicar el método del trapecio para aproximar el valor de la siguiente integral definida:

Esta integral puede resolverse de forma exacta utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, lo que permite compararla con la aproximación numérica.

Pasos a seguir

1. Encontrar la antiderivada manualmente de la función $f(x) = \ln(x)$.

   • Aplicar el TFC para obtener el valor exacto de la integral en el intervalo $[1, 9]$.

2. Aproximar la integral utilizando el método del trapecio con $n = 3$ subintervalos.

   • Usar la implementación programada del método.
   • Registrar este valor como primera aproximación.

3. Repetir el cálculo aumentando gradualmente el número de trapecios.

   • Calcular la aproximación para los siguientes valores de $n$: $n = 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ 96$
   • Para cada caso, calcular el error porcentual con respecto al valor exacto.

4. Graficar la evolución del error porcentual en función del número de trapecios $n$.

   • Utilizar los mismos $n$ del punto anterior.
   • Graficar $n$ vs error.

5. Visualizar la función y su antiderivada:

   • Dibujar en una misma gráfica la función $f(x) = \ln(x)$ y su primitiva $F(x) = x \ln(x) - x$ en el intervalo $[1, 9]$.
   • Señalar visualmente el área que se desea aproximar.
   • Observar cómo se relaciona el área bajo $f(x)$ con la variación de valores en $F(x)$.

🧠 Preguntas

Responder con una o dos frases por pregunta. Justificar cada respuesta con observaciones del ejercicio realizado.

1. ¿Qué tipo de función es $f(x) = \ln(x)$ en el intervalo $[1, 9]$? ¿Es creciente o decreciente? ¿Cóncava o convexa?

2. ¿El método del trapecio tiende a sobreestimar o subestimar el valor de la integral en este caso? ¿Por qué?

3. ¿Cómo se comporta el error porcentual a medida que aumenta el número de subintervalos $n$?

4. ¿El error se reduce a la mitad al duplicar $n$? ¿O se comporta de otra forma? ¿Qué sugiere esto sobre la eficiencia del método?

5. ¿Hay algún punto a partir del cual aumentar $n$ ya no mejora mucho la aproximación? Si es así, ¿por qué crees que sucede?

6. Al observar la gráfica de la primitiva $F(x)$, ¿cómo se relaciona el valor de la integral con la diferencia $F(b) - F(a)$? ¿Se nota visualmente?

7. ¿Qué ventajas tiene el método numérico sobre la solución analítica en este caso? ¿Y qué desventajas?