Método de Simpson

¿Por qué usar parábolas?

En el método del trapecio, aproximamos la curva de la función por tramos lineales.
Ahora daremos un paso más: vamos a aproximar cada tramo con una parábola.

La idea es simple: en lugar de conectar dos puntos con una recta, tomamos tres puntos consecutivos y los hacemos coincidir con una parábola que pase exactamente por ellos.

Esto nos da una mejor aproximación del comportamiento curvo de la función, y por lo tanto, un mejor estimado del área bajo la curva.

Visualmente:

Se toma un intervalo $[a, b]$ .
Se calcula el punto medio $m = \frac{a + b}{2}$ .
Se construye una parábola que pase por los puntos $(a, f(a))$ , $(m, f(m))$ y $(b, f(b))$ .

El área bajo esa parábola se puede calcular exactamente, y da lugar a la siguiente fórmula:

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b - a}{6} \left[ f(a) + 4f\left( \frac{a + b}{2} \right) + f(b) \right]

Esta es la fórmula de Simpson simple.

Regla de Simpson compuesta

La fórmula anterior funciona bien en un solo intervalo $[a, b]$ , pero si queremos mayor precisión, podemos aplicar la misma idea muchas veces a lo largo de varios subintervalos.

Para eso, dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos iguales, donde $n$ debe ser par.

Sea $h = \frac{b - a}{n}$ el ancho de cada subintervalo, y sean los puntos:

x_0 = a,\quad x_1 = a + h,\quad x_2 = a + 2h,\quad \dots,\quad x_n = b

La regla de Simpson compuesta se expresa como:

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \dots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]

Observaciones:

Los extremos $f(x_0)$ y $f(x_n)$ aparecen una sola vez.
Los índices impares (como $x_1, x_3, \dots$ ) van con peso 4.
Los índices pares intermedios (como $x_2, x_4, \dots, x_{n-2}$ ) van con peso 2.

Este patrón de pesos ( $1,\ 4,\ 2,\ 4,\ 2,\ \dots,\ 4,\ 1$ ) permite capturar con mucha precisión la forma de la función con relativamente pocos puntos.

A continuación, escribiremos el pseudocódigo de este procedimiento.